Twierdzenie Carnota
W każdym trójkącie suma odległości środka okręgu opisanego od boków trójkąta równa jest sumie promieni okręgów wpisanego i opisanego.
Opis konstrukcji 1. Zaznaczamy 3 punkty: $A$, $B$, $C$.
2. Rysujemy 3 odcinki: $|AB|$, $|BC|$, $|CA|$.
3. Rysujemy okręg przechodzący przez punkty $A$, $B$, $C$.
4. W połowie odcinków $|AB|$, $|BC|$, $|CA|$ zaznaczamy odpowiednio
punkty $N$, $P$ i $M$.
5. Rysujemy symetralne odcinków $|AB|$, $|BC|$, $|CA|$
6. Punkt ich przecięcia oznaczamy przez O.
7. Rysujem odcinki $|NM|$, $|MP|$, $|PN|$, $|AO|$, $|CO|$ i $|BO|$.
Dowód
Niech w trójkącie $ABC$ $O$ będzie środkiem okręgu opisanego. Oznaczmy odpowiednio przez $k_a$, $k_b$, $k_c$ odległości tego środka od boków $a$, $b$, $c$. Z twierdzenia
Ptolemeusza zastosowanego do czworokąta ANOM mamy:
$$AO * NM = NO * AM + OM * AN$$
czyli
$$R*\frac{a}{2}=k_c\frac{b}{2}+k_b\frac{c}{2}$$
Dla $BNOP$ i $CPOM$ postępujemy analogicznie
$$R*\frac{b}{2}=k_a\frac{c}{2}+k_c\frac{a}{2}$$
$$R*\frac{c}{2}=k_cb\frac{a}{2}+k_a\frac{b}{2}$$
Dodając stronami powyższe 3 równania otrzymujemy
$$Rp=k_a\frac{b+c}{2}+k_b\frac{c+a}{2}+k_c\frac{a+b}{2}$$
p - połowa obwodu trójkąta $ABC$
$$Rp=(k_a+k_b+k_c)p-\frac{k_aa}{2}-\frac{k_bb}{2}-\frac{k_cc}{2}=(k_a+k_b+k_c)p-S=(k_a+k_b+k_c)p-pr$$
S - pole trójkąta $ABC$
$$Rp=(k_a+k_b+k_c)p-pr$$
$$k_a+k_b+k_c=R-r$$
Ponieważ $AH = 2k_a$, $BH=2k_b$, $CH = 2k_c$, $H$ - ortocentr trójkąta, więc:
$$AH + BH + CH =2R + 2r$$
Mateusz Michalak, Liceum Ogólnokształcące im. Marsz. St. Małachowskiego w Płocku
