Proste, łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności odpowiednich okręgów dopisanych, przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy punktem Nagela.
Opis konstrukcji
1. Zaznaczamy 3 punkty: $A$, $B$, $C$.
2. Rysujemy 3 proste: $AB$, $BC$, $CA$.
3. Rysujemy dwusieczną kąta $ABC$ oraz prostą prostopadłą do
dwusiecznej kąta $BAC$. Rysujemy okrąg którego środkiem jest punkt ich
przecięcia. Okrąg ma być styczny do narysowanych prostych w punkcie 2. Punkt
styczności okręgu z prostą $AC$ oznaczamy poprzez $F$ a z prostą $AB$
poprzez $F'$.
4. Rysujemy dwusieczną kąta $BAC$ oraz prostą prostopadłą do
dwusiecznej kąta $ACB$. Rysujemy okrąg którego środkiem jest punkt ich
przecięcia. Okrąg ma być styczny do narysowanych prostych w punkcie 2. Punkt
styczności okręgu z prostą $BC$ oznaczamy literą $K$.
5. Rysujemy dwusieczną kąta $ACB$ oraz prostą prostopadłą do
dwusiecznej kąta $CBA$. Rysujemy okrąg którego środkiem jest punkt ich
przecięcia. Okrąg ma być styczny do narysowanych prostych w punkcie 2. Punkt
styczności okręgu z prostą $BA$ oznaczamy literą $L$.
5. Rysujemy 3 proste: $CL$, $AK$ i $BF$.
6. Punkt przecięcia narysowanych prostych oznaczamy $N$. Jest to
poszukiwany punkt Nagela.
Dowód
\begin{align}
AF = AF' = BF' - BA = p - c\\
CK = p - b, \; BL = p - a, \; FC = p - a, \\
KB = p - c, \; LA = p - b; \\
\frac{AF}{FC}*\frac{CK}{KB}*\frac{BL}{LA} = 1 \\
\end{align}
Tak więc proste AK, BF, CL przecinają się w jednym punkcie. Warto zauważyć, że proste Cevy, przechodzące przez punkt Nagela, dzielą obwód na połowy, mamy bowiem
\begin{align}
AC + CK = b + p - b = p\\
CB + BL = a + p - a = p\\
BA + AF = c + p - c = p
\end{align}
Mateusz Michalak, Liceum Ogólnokształcące im. Marsz. St. Małachowskiego w Płocku
